বীজগণিতের মৌলিক চার প্রক্রিয়া (Basic Operations of Algebra)

বীজগণিতের মৌলিক চার প্রক্রিয়া (Basic Operations of Algebra)

বীজগণিতে বিভিন্ন রাশির উপর যে চারটি প্রধান গাণিতিক কাজ করা হয়, সেগুলোকে বীজগণিতের মৌলিক চার প্রক্রিয়া বলা হয়। এই চারটি প্রক্রিয়া হলো—যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ।

১. যোগ (Addition)

সমজাতীয় পদগুলোর সহগ যোগ করে বীজগাণিতিক রাশির যোগ করা হয়।

উদাহরণ:

$2x+3x=5x$

২. বিয়োগ (Subtraction)

সমজাতীয় পদগুলোর সহগ বিয়োগ করে রাশির বিয়োগ করা হয়।

উদাহরণ:

$7y-4y=3y$

৩. গুণ (Multiplication)

একটি রাশির প্রতিটি পদকে অপর রাশির প্রতিটি পদের সাথে গুণ করতে হয়।

উদাহরণ:

$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$

৪. ভাগ (Division)

একটি বীজগাণিতিক রাশিকে অন্য একটি রাশি দ্বারা ভাগ করাকে ভাগ বলা হয়।

উদাহরণ:

$\frac{8x^2}{4x}=2x$

সমজাতীয় পদ

যেসব পদের চলক ও চলকের ঘাত একই থাকে, সেগুলোকে সমজাতীয় পদ বলা হয়।

উদাহরণ:

$3x,5x,-2x$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• শুধুমাত্র সমজাতীয় পদ যোগ ও বিয়োগ করা যায়
• গুণের ক্ষেত্রে প্রত্যেক পদকে গুণ করতে হয়
• ভাগে সহগ ও চলকের ঘাতের নিয়ম মানতে হয়
• চলকের ঘাত একই হলে পদগুলো সমজাতীয় হয়

মনে রাখার উপায়

বীজগণিতের চার প্রক্রিয়া হলো—যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ। সমজাতীয় পদ ছাড়া যোগ-বিয়োগ করা যায় না।

বীজগণিতীয় রাশির যোগ (Addition of Algebraic Expressions)

দুই বা ততোধিক বীজগাণিতিক রাশিকে একত্র করে একটি নতুন রাশি গঠন করাকে বীজগণিতীয় রাশির যোগ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

বীজগাণিতিক রাশির যোগ করার সময় সমজাতীয় পদগুলোর সহগ যোগ করতে হয়।

সমজাতীয় পদ (Like Terms)

যেসব পদের চলক ও চলকের ঘাত একই হয়, সেগুলোকে সমজাতীয় পদ বলা হয়।

উদাহরণ:

$2x,5x,-3x$

রাশির যোগের নিয়ম

• সমজাতীয় পদগুলো একত্র করতে হবে
• সহগগুলো যোগ করতে হবে
• চলক ও ঘাত অপরিবর্তিত থাকবে

উদাহরণ ১

নিচের রাশিদ্বয়ের যোগ নির্ণয় করি:

$(2x+3y)+(4x+5y)$

সমজাতীয় পদগুলো যোগ করলে পাই:

$6x+8y$

উদাহরণ ২

নিচের রাশিগুলোর যোগ নির্ণয় করি:

$3a^2+2a+5+4a^2-a$

সমজাতীয় পদ একত্র করলে পাই:

$7a^2+a+5$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• শুধুমাত্র সমজাতীয় পদ যোগ করা যায়
• চলক ও ঘাত একই থাকতে হবে
• সহগগুলোর যোগফল নেওয়া হয়
• অসমজাতীয় পদ আলাদা থাকবে

মনে রাখার উপায়

“সমজাতীয় পদ একত্র করো, সহগগুলো যোগ করো” — এ নিয়ম অনুসরণ করলেই বীজগাণিতিক রাশির যোগ সহজে করা যায়।

দুই বা ততোধিক বীজগণিতীয় রাশি যোগ করতে হলে সদৃশ পদের সহগগুলো চিহ্নযুক্ত সংখ্যার নিয়মে যোগ করতে হবে। এরপর প্রাপ্ত সহগের ডানপাশে প্রতীকগুলো বসাতে হবে। বিসদৃশ পদগুলো তাদের চিহ্নসহ যোগফলে বসাতে হবে।

উদাহরণ ১ (ক)। যোগ কর: 2a+4b+5c, 3a+2b-6c.

সমাধান:

(2a+4b+5c) + (3a+2b-6c)
= (2a+3a)+(4b+2b) + (5c6c)
= 5a +6b-c.

নির্ণেয় যোগফল 5a+6b-c.

বিকল্প পদ্ধতি: সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,

$2a+4b+5c$

$+ 3a+2b-6c$

__________

$5a+6b-c$

নির্ণেয় যোগফল 5a + 6b - c

উদাহরণ ১ (খ)। যোগ কর: 3a + 6b + c, 5a + 2b + d .

সমাধান:

(3a + 6b + c) + (5a + 2b + d)

= (3a + 5a) + (6b + 2b) + c + d

= 8a + 8b + c + d

[এখানে সদৃশ পদগুলো যোগ করে বিসদৃশ পদ দুইটির যোগফলের সাথে যোগ করা হয়েছে।] নির্ণেয় যোগফল 8a + 8b + c + d

লক্ষ করি: সদৃশ পদের সাংখ্যিক সহগগুলোর বীজগণিতীয় যোগফল নির্ণয় করা হয়েছে। প্রাপ্ত যোগফলের পাশে সংশ্লিষ্ট পদের প্রতীকগুলো বসানো হয়েছে। এভাবে প্রাপ্ত সব পদের যোগফলই নির্ণেয় যোগফল।

উদাহরণ ২। যোগ কর: $5a+3b-c^2,-3a+4b+4c^2,a-8b+2c^2.$

সমাধান: সদৃশ পদগুলোকে নিচে নিচে সাজিয়ে পাই,

নির্ণেয় যোগফল $3a-b+5c^2$

উদাহরণ ৩। যোগ কর: $$\begin{gathered} \left(i\right)7x - 5y + 7z , 2x - 3z + 7y 8x + 2y - 3z \\ \left(ii\right)4x^2-3y+7z,8x^2+5y-3zy+2z \end{gathered}$$

সমাধান:

(i)

নির্ণেয় যোগফল 17x + 4y + z

(ii)

নির্ণেয় যোগফল $12x^2+3y+6z$

লক্ষ করি: কোনো রাশির আগে কোনো চিহ্ন না থাকলে, সেখানে যোগ (+) চিহ্ন ধরা হয়।

বীজগণিতীয় রাশির বিয়োগ (Subtraction of Algebraic Expressions)

একটি বীজগাণিতিক রাশি থেকে অন্য একটি বীজগাণিতিক রাশি বাদ দেওয়াকে বীজগণিতীয় রাশির বিয়োগ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

বীজগাণিতিক রাশির বিয়োগ করার সময় সমজাতীয় পদগুলোর সহগ বিয়োগ করতে হয়।

সমজাতীয় পদ (Like Terms)

যেসব পদের চলক ও চলকের ঘাত একই হয়, সেগুলোকে সমজাতীয় পদ বলা হয়।

উদাহরণ:

$5x,2x,-3x$

রাশির বিয়োগের নিয়ম

• বিয়োগ চিহ্নের পরের রাশির প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করতে হবে
• সমজাতীয় পদগুলো একত্র করতে হবে
• সহগগুলোর বিয়োগ করতে হবে

উদাহরণ ১

নিচের রাশিদ্বয়ের বিয়োগ নির্ণয় করি:

$(7x+5y)-(3x+2y)$

চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই:

$7x+5y-3x-2y$

সমজাতীয় পদ একত্র করলে পাই:

$4x+3y$

উদাহরণ ২

নিচের রাশির বিয়োগ নির্ণয় করি:

$(8a^2+4a-6)-(3a^2+a-2)$

সমাধান:

$8a^2+4a-6-3a^2-a+2$

সমজাতীয় পদ একত্র করলে পাই:

$5a^2+3a-4$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• বিয়োগের সময় চিহ্ন পরিবর্তন করতে হয়
• শুধুমাত্র সমজাতীয় পদ বিয়োগ করা যায়
• চলক ও ঘাত একই থাকতে হবে
• অসমজাতীয় পদ আলাদা থাকবে

মনে রাখার উপায়

“ব্র্যাকেট খুললে চিহ্ন বদলাবে, তারপর সমজাতীয় পদ একত্র হবে” — এই নিয়ম মনে রাখলে বীজগাণিতিক রাশির বিয়োগ সহজ হয়।

a - b = a + (- b)

একটি বীজগণিতীয় রাশি থেকে অপর একটি বীজগণিতীয় রাশি বিয়োগ করার ক্ষেত্রে, প্রথম রাশির সাথে দ্বিতীয় রাশির যোগাত্মক বিপরীত রাশি যোগ করা হয়। অর্থাৎ, বিয়োজ্য বা দ্বিতীয় রাশির প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে প্রাপ্ত রাশিকে প্রথম রাশির সাথে যোগ করা।

উদাহরণ ৩। 5a+ 4b -5c থেকে 3a - 4b - 6c বিয়োগ কর।

সমাধান:

বিয়োজ্যের প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই,

- 3a + 4b + 6c

এখন রূপান্তরিত বিয়োজ্য রাশি যোগ করে পাই,

বিকল্প পদ্ধতি:

এখানেও চিহ্ন পরিবর্তন করে যোগ করা হয়েছে।

উদাহরণ ৪। $5x^2-4x^{2}y+5x{y}^2$ থেকে $-3x{y}^2-4x^{2}y+5x^2$ বিয়োগ কর।

সমাধান: বিয়োজ্যের প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই,

$3x{y}^2+4x^{2}y-5x^2$

এখন প্রথম রাশির সাথে রূপান্তরিত বিয়োজ্য রাশি যোগ করে পাই,

নির্ণেয় বিয়োগফল $8x{y}^2$

উদাহরণ ৫। বিয়োগ কর:

(i) 4xy + 2yz + 5zx থেকে 3xy - yz + 2zx
(ii) 3ab + bc - 4ca - 5 থেকে 2ab - 2bc - 5ca - 6

সমাধান:
(i)

নির্ণেয় বিয়োগফল xy + 3yz + 3zx

(ii)

নির্ণেয় বিয়োগফল ab + 3bc + ca + 1

লক্ষ করি: প্রথম রাশি লেখার পর দ্বিতীয় রাশির প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে সদৃশ পদগুলো নিচে নিচে লিখে যোগ করা হয়েছে।

উদাহরণ ৬। p,q,r তিনটি বীজগনিতীয় রাশি যেখানে

p = 7a + 5b + 6c q = 3a - b + 9c এবং r = - 3c + 6b + 4a

(ক) a = 1 b = 2 এবং c = 3 হলে ৭ এর মান নির্নয় কর?
(খ) 2p-3q+5r মান নির্নয় কর?
(গ) প্রমান কর যে, প্রদত্ত রাশি গুলোর যোগফল প্রথম রাশির দ্বিগুনের সমান।

সমাধান:

(ক) q = 3a - b + 9c

=3.1-2+9.3 [মান বসিয়ে]

=3-2+27

=30-2

=28

(খ)

2p-3q+5r
2(7a+5b+6c)-3 (3a-b+9c)+5 (- 3c + 6b + 4a) [মান বসিয়ে]
= 14a + 10b + 12c - 9a + 3b - 27c - 15c + 30b + 20a
= 14a + 20a - 9a + 10b + 3b + 30b + 12c - 27c - 15c
=25a+43b-30c

(গ) সদৃশ পদ গুলোকে নিচে নিচে সাজিয়ে পাই

7a + 5b + 6c
3a-b+9c
(+) 4a+6b-3c
14a+10b+12c

রাশিগুলোর যোগফল
= 14a + 10b + 12c
= 2(7a + 5b + 6c)
= 2p

রাশিগুলোর যোগফল প্রথম রাশির দ্বিগুনের সমান। (প্রমানিত)

বীজগণিতীয় রাশির গুণ (Multiplication of Algebraic Expressions)

একটি বীজগাণিতিক রাশির প্রতিটি পদকে অন্য একটি রাশির প্রতিটি পদের সাথে গুণ করাকে বীজগণিতীয় রাশির গুণ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

রাশির গুণ করার সময় সহগের গুণ করতে হয় এবং একই চলকের ক্ষেত্রে ঘাত যোগ করতে হয়।

গুণের মৌলিক নিয়ম

• সহগগুলোর গুণ করতে হবে
• একই চলকের ঘাত যোগ করতে হবে
• প্রতিটি পদকে প্রতিটি পদের সাথে গুণ করতে হবে

চলকের ঘাতের নিয়ম

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

উদাহরণ ১

একপদীর সাথে একপদীর গুণ:

$3x\times 2x=6x^2$

উদাহরণ ২

একপদীর সাথে বহুপদীর গুণ:

$2x(x+3)=2x^2+6x$

উদাহরণ ৩

দুইটি বহুপদীর গুণ:

$(x+2)(x+3)$

প্রথম রাশির প্রতিটি পদকে দ্বিতীয় রাশির প্রতিটি পদের সাথে গুণ করলে পাই:

$x^2+3x+2x+6$

সমজাতীয় পদ একত্র করলে পাই:

$x^2+5x+6$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• প্রতিটি পদকে প্রতিটি পদের সাথে গুণ করতে হয়
• একই চলকের ঘাত যোগ হয়
• সহগগুলো আলাদাভাবে গুণ করা হয়
• শেষে সমজাতীয় পদ একত্র করতে হয়

মনে রাখার উপায়

“প্রত্যেক পদের সাথে প্রত্যেক পদের গুণ” — এই নিয়ম অনুসরণ করলেই বীজগাণিতিক রাশির গুণ সহজে করা যায়।

বীজগণিতীয় রাশির গুণ

গুণের বিনিময়বিধি

আমরা জানি,

2 $\times$ 3 = 6 আবার 3 $\times$ 2 = 6

2 $\times$ 3 = 3 $\times$ 2 যা গুণের বিনিময়বিধি।

গুণের সংযোগবিধি

$(2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24$আবার $2 (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24$

$(2 \times 3) \times 4 = 2(3 \times 4)$যা গুণের সংযোগবিধি।

a, b, c যেকোনো তিনটি বীজগণিতীয় রাশির জন্য (a$\times$b)$\times$c=a$\times$ (b$\times$c), যা গুণের সংযোগবিধি।

গুণের সূচকবিধি

আমরা জানি,

$a\times a=a^2,a\times a\times a=a^3,a\times a\times a\times a=a^4$

$a^2\times a^4=(a\times a)(a\times a\times a\times a)=a\times a\times a\times a\times a\times a\times a=a^6=a^{2+4}$

সাধারণভাবে $a^{m}x{a}^n = a^{m+n}$ যেখানে m, n যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।

এই প্রক্রিয়াকে গুণের সূচকবিধি বলা হয়।

আবার, $(a^3{)}^2=a^3\times a^3=a^6=a^{3\times 2}=a^6$

সাধারণভাবে, ${\left(a^m\right)}^n = a^{nm}$

গুণের বণ্টন বিধি

আমরা জানি,

$2(a + b) = (a + b) + (a + b) [\because 2x = x + x ]$

= (a + a) + (b + b)

= 2a + 2b

আবার পাশের চিত্র হতে পাই,

ABEF আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল

= দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ = BE $\times$ AB=a$\times$2=2$\times$a=2a

আবার, ECDF আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

= EC$\times$CD=b$\times$2=2$\times$b= 2b

$\therefore$ ABCD আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল

= ABEF আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + ECDF আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= 2a + 2b

আবার, ABCD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

= BC $\times$ AB

= AB $\times$ (BE + EC)

= 2$\times$ (a+b)

= 2(a + b)

$\therefore$ 2(a+b) =2a+2b.

চিহ্নযুক্ত রাশির গুণ

আমরা জানি, 2 কে 4 বার নিলে 2 + 2 + 2 + 2 = 8 = 2 $\times$ 4 হয়। এখানে বলা যায় যে, 2 কে 4 দ্বারা গুণ করা হয়েছে।

অর্থাৎ, 2 $\times$ 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8

যেকোনো বীজগণিতীয় রাশি a ও b এর জন্য

a$\times$b = ab _________ (i)

আবার

$(- 2) \times 4 = (- 2) + (- 2) + (- 2) + (- 2) = - 8 = - (2 \times 4)$

অর্থাৎ $(- 2) \times 4 = - (2 \times 4) = - 8$

সাধারণভাবে, $(- a) \times b = - (a\times b) = - a \times b$__________ (ii)

আবার, $a\times (- b) = (- b) \times a$গুণের বিনিময়বিধি

= - (b $\times$ a)

= - (a $\times$ b)

= - a $\times$ b

অর্থাৎ, $a\times (- b) = - (a\times b) = - ab$_____________ (iii)

আবার, $(-a)\times (-b)=-\left\{\right(-a)\times b\}$ [(iii) অনুযায়ী]

= - {- (a$\times$b)} [ (ii) অনুযায়ী]

= - (- ab)

= ab

অর্থাৎ, $(- a)(- b) = ab$ __________(iv)

লক্ষ করি :

• একই চিহ্নযুক্ত দুটি রাশির গুণফল (+) চিহ্নযুক্ত হবে।
• বিপরীত চিহ্নযুক্ত দুটি রাশির গুণফল (-) চিহ্নযুক্ত হবে।

একপদী রাশিকে একপদী রাশি দ্বারা গুণ

দুটি একপদী রাশির গুণের ক্ষেত্রে তাদের সাংখ্যিক সহগদ্বয়কে চিহ্নযুক্ত সংখ্যার গুণের নিয়মে গুণ করতে হয়। উভয়পদে বিদ্যমান বীজগণিতীয় প্রতীকগুলোকে সূচক নিয়মে গুণ করে গুণফলে লিখতে হয়। অন্যান্য প্রতীকগুলো অপরিবর্তিত অবস্থায় গুণফলে নেওয়া হয়।

উদাহরণ ১। $5x^2{y}^4$ কে $3x^2{y}^4$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান:

$5x^2{y}^4 \times 3x^2{y}^3$

$= \left(5x3\right)\times (x^2\times x^2)\times (y^4+ y^3)$

$=15x^4{y}^7$ [সূচক নিয়ম অনুযায়ী।

নির্ণেয় গুণফল $=15x^4{y}^7$

উদাহরণ ২। $12a^{2}x{y}^2$কে $-6a{x}^{3}b$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান:

$12a^{2}x{y}^2 \times (-6a{x}^{3}b)$

$$\begin{gathered} =12\times (-6) \times (a^2\times a)\times b\times (x\times x^3)\times y^2 \\ = -72a^{3}b{x}^4{y}^2 \end{gathered}$$

নির্ণেয় গুণফল $-72a^{3}b{x}^4{y}^2$

উদাহরণ ৩। $-7a^2{b}^{4}c$কে $4a^2{c}^{3}d$দ্বারা গুণ কর।

সমাধান:

$(-7a^2{b}^{4}c) \times 4a^2{c}^{3}d$

$$\begin{gathered} = (-7\times 4)\times (a^2\times a^2)\times b^2\times (c \times c^{3 })\times d \\ = -28a^4{b}^4{c}^{4}d \end{gathered}$$

নির্ণেয় গুণফল $-28a^4{b}^4{c}^{4}d$

বহুপদী রাশিকে একপদী রাশি দ্বারা গুণ

একের অধিক পদযুক্ত বীজগণিতীয় রাশিই বহুপদী রাশি। যেমন, $5x^{2}y + 7x{y}^2$একটি বহুপদী রাশি।

বহুপদী রাশিকে একপদী রাশি দ্বারা গুণ করতে হলে গুণ্যের (প্রথম রাশি) প্রত্যেক পদকে গুণক (দ্বিতীয় রাশি) দ্বারা গুণ করতে হয়।

উদাহরণ ১। $(5x^{2}y +7x{y}^2)$কে $5x^3{y}^3$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান:

$$\begin{gathered} (5x^{2}y +7x{y}^2) x 5x^3{y}^3 \\ = (5x^{2}y\times 5x^3{y}^3) + (7x{y}^2\times 5x^3{y}^3) \\ = (5\times 5)\times (x^2\times x^3)x(y\times y^3) + (7\times 5)\times (x\times x^3)\times (y^2\times y^3) \\ = 25x^5{y}^4 +35x^4{y}^5 \end{gathered}$$

নির্ণেয় গুণফল $25x^5{y}^4 +35x^4{y}^5$

উদাহরণ ২। $2a^3-b^3+3abc$ কে $a^4{b}^2$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান:

$$\begin{gathered} (2a^3-b^3+3abc)\times a^4{b}^2 \\ = (2a^3\times a^4{b}^2)-(b^3\times a^4{b}^2)+(3abc\times a^4{b}^2) \\ =2a^7{b}^2-a^4{b}^5 +3a^5{b}^{3}c \end{gathered}$$

বহুপদী রাশিকে বহুপদী রাশি দ্বারা গুণ

• বহুপদী রাশিকে বহুপদী রাশি দ্বারা গুণ করতে হলে গুণ্যের প্রত্যেক পদকে গুণকের প্রত্যেক পদ দ্বারা আলাদা আলাদাভাবে গুণ করে সদৃশ পদগুলোকে নিচে নিচে সাজিয়ে লিখতে হয়।
• চিহ্নযুক্ত রাশির যোগের নিয়মে যোগ করতে হয়।
• বিসদৃশ পদ থাকলে সেগুলোকে পৃথকভাবে লিখতে হয় এবং গুণফলে বসাতে হয়।

উদাহরণ ১। 3x + 2y কে x + y দ্বারা গুণ কর।

গুণের নিয়ম:

• প্রথমে গুণ্যের প্রত্যেক পদকে গুণকের প্রথম পদ দ্বারা গুণ করে গুণফল লিখতে হবে।
• এরপর গুণ্যের প্রত্যেক পদকে গুণকের দ্বিতীয় পদ দ্বারা গুণ করে গুণফল বের করতে হবে। এ গুণফলকে এমনভাবে সাজিয়ে লিখতে হবে যেন উভয় গুণফলের সদৃশ পদগুলো নিচে নিচে পড়ে।
• প্রাপ্ত দুটি গুণফলের বীজগণিতীয় সমষ্টিই হলো নির্ণেয় গুণফল।

উদাহরণ ২। $a^2-2ab+b$ কে a - bদ্বারা গুণ কর।

উদাহরণ ৩। $2x^2+3x-4$ কে $3x^2-4x-5$ দ্বারা গুণ কর।

নির্ণেয় গুণফল $6x^4+x^3-34x^2+x+20$

বীজগণিতীয় রাশির ভাগ (Division of Algebraic Expressions)

একটি বীজগাণিতিক রাশিকে অন্য একটি রাশি দ্বারা ভাগ করাকে বীজগণিতীয় রাশির ভাগ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

রাশির ভাগ করার সময় সহগগুলো আলাদাভাবে ভাগ করতে হয় এবং একই চলকের ক্ষেত্রে ঘাত বিয়োগ করতে হয়।

ভাগের মৌলিক নিয়ম

• সহগগুলো ভাগ করতে হবে
• একই চলকের ঘাত বিয়োগ করতে হবে
• লব ও হরের সাধারণ গুণনীয়ক কর্তন করতে হবে

চলকের ঘাতের নিয়ম

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

উদাহরণ ১

একপদীর ভাগ:

$\frac{12x^3}{3x}=4x^2$

কারণ,

$12÷3=4,x^3÷x=x^2$

উদাহরণ ২

বহুপদীকে একপদী দ্বারা ভাগ:

$\frac{6x^2+9x}{3x}$

প্রতিটি পদকে ভাগ করলে পাই:

$2x+3$

উদাহরণ ৩

সাধারণ গুণনীয়ক কর্তন:

$\frac{8a^{2}b}{4a}=2ab$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• একই চলকের ঘাত ভাগে বিয়োগ হয়
• সহগগুলো আলাদাভাবে ভাগ করতে হয়
• লব ও হরের সাধারণ গুণনীয়ক কর্তন করা যায়
• প্রতিটি পদকে আলাদাভাবে ভাগ করতে হয়

মনে রাখার উপায়

“গুণে ঘাত যোগ, ভাগে ঘাত বিয়োগ” — এই নিয়ম মনে রাখলে বীজগাণিতিক রাশির ভাগ সহজে করা যায়।

বহুপদী রাশিকে বহুপদী রাশি দ্বারা ভাগ করার ক্ষেত্রে প্রথমে ভাজ্য ও ভাজক উভয়ের মধ্যে আছে এমন একটি বীজগণিতীয় প্রতীকের ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে রাশিদ্বয়কে সাজাতে হবে। যেমন $x^2+2x^2+110-48x$একটি বহুপদী। একে x এর মানের অধঃক্রম অনুসারে সাজালে আমরা পাই: $2x^2+ x^2-48x+110$ এরপর পাটিগণিতের ভাগ প্রক্রিয়ার মতো নিচের নিয়মে ধাপে ধাপে ভাগ করতে হবে।

• ভাজ্যের প্রথম পদটিকে ভাজকের প্রথম পদ দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগফল হয় তা নির্ণেয় ভাগফলের প্রথম পদ।
• ভাগফলের ঐ প্রথম পদ দ্বারা ভাজকের প্রত্যেক পদকে গুণ করে গুণফল সদৃশ পদ অনুযায়ী ভাজ্যের নিচে বসিয়ে ভাজ্য থেকে বিয়োগ করতে হয়।
• বিয়োগফল নতুন ভাজ্য হবে। বিয়োগফল এমনভাবে লিখতে হবে যেন তা আগের মতো বিবেচ্য প্রতীকের অধঃক্রম অনুসারে থাকে।
• নতুন ভাজ্যের প্রথম পদটিকে ভাজকের প্রথম পদ দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগফল হয় তা নির্ণেয় ভাগফলের দ্বিতীয় পদ।
• এভাবে ক্রমান্বয়ে ভাগ করতে হয়।

উদাহরণ ৩। $6x^2+x-2$কে 2x - 1 দ্বারা ভাগ কর।

এখানে

$6x^2÷2x=3x$ এই 3.x দ্বারা ভাজক 2x+1 গুণ করে গুণফল ভাজ্যের সদৃশ পদের নিচে লিখে বিয়োগ করা হল: নতুন ভাজ্য 4x - 2 এর ক্ষেত্রে একই নিয়ম অনুসরণ করা হল

সমাধান:

এখানে ভাজ্য ও ভাজক উভয়েই x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজানো আছে।

নির্ণেয় ভাগফল 3x+2

উদাহরণ ৪। $2x^2-7xy+6y^2$ কে x - 2y দ্বারা ভাগ কর।

সমাধান: এখানে রাশি দুইটি x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজানো আছে।

নির্ণেয় ভাগফল 2x + 3y

উদাহরণ ৫। $16x^4+36x^2+81$ কে $4x^2-6x+9$ দ্বারা ভাগ কর।

সমাধান: এখানে রাশি দুটি x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজানো আছে।

নির্ণেয় ভাগফল $4x^2+6x+9$

মন্তব্য: ২য় ধাপে নতুন ভাজ্যকেও x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজিয়ে লেখা হয়েছে।

উদাহরণ ৬। $2x^4+110-48x$ কে $4x+11+x^2$ দ্বারা ভাগ কর।

সমাধান: ভাজ্য ও ভাজক উভয়কে x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই,

ভাজ্য = $2x^4+110-48x=2x^4-48x+110$

ভাজক $=4x+11+x^2=x^2+4x+11$

নির্ণেয় ভাগফল $2x^2-8x+10$

উদাহরণ ৭। $x^4-1$কে $x^2+1$ দ্বারা ভাগ কর।

সমাধান: এখানে রাশি দুটি x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজানো আছে।

নির্ণেয় ভাগফল $x^2-1$